Два треугольника — два подхода

Условия задачи предельно лаконичны. Возьмите два идентичных равнобедренных прямоугольных треугольника с углами 90°, 45° и 45°.

В левый треугольник вписали квадрат так, что один его угол совпадает с прямым углом, а противоположная этому углу вершина лежит точно на гипотенузе. Квадрат словно зажат в углу, а два оставшихся маленьких треугольника по бокам от него тоже становятся равнобедренными прямоугольными.

В правый треугольник квадрат вписали иначе: одна его сторона полностью лежит на гипотенузе, а две противоположные вершины упираются в катеты. Выглядит это так, будто квадрат «висит» на гипотенузе, а сверху и по бокам остаются три свободных треугольных участка.

Почему интуиция подводит

Большинство людей, бросив беглый взгляд, ставит на равенство площадей. Логика проста: треугольники-то одинаковые, значит, и вписанные фигуры должны быть одного размера. Но геометрия не прощает поспешных выводов, и именно здесь кроется главный подвох.

В левом варианте площадь квадрата равна сумме площадей двух «оставшихся» треугольников, а в правом — квадрат занимает меньше места, потому что часть площади уходит на лишний треугольник у прямого угла.

Разбор по шагам

Чтобы убедиться, какой квадрат больше, достаточно простого доказательства, которое не требует формул. Вот как это работает.

1. В левом треугольнике квадрат делит фигуру на себя и два маленьких треугольника. Благодаря общей стороне и углам 45° легко показать, что эти два треугольника вместе равны по площади самому квадрату.

2. В правом треугольнике квадрат тоже окружён треугольниками: два по бокам и один сверху, у прямого угла.

3. Два боковых треугольника, как и в первом случае, вместе дают площадь квадрата. Но здесь остаётся ещё и третий треугольник, который не компенсируется ничем.

4. Значит, в правом случае общая площадь «остатков» больше, а сам квадрат, соответственно, меньше.

Левый квадрат занимает ровно половину площади треугольника, в то время как правый — меньше половины. Интуитивно кажется иначе, но математика неумолима.